Question

设满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S₁，满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S₂（其中[x]，[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1），给出下列结论：
①点（S₁，S₂）在直线y=x左上方的区域内；
②点（S₁，S₂）在直线x+y=7左下方的区域内；
③S₁＜S₂；
④S₁＞S₂．
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：不等式的解法及应用

分析：先把满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S₁与S₂的关系．

解答： 解：满足条件x²+y²≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆，其面积为：π
当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，-1≤y＜0时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当-1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]²+[y]²≤1；
∴满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为：5
综上得：S₁与S₂的关系是S₁＜S₂，点（S₁，S₂）一定在直线y=x左上方的区域内
故答案为：①③．

点评：本题考查平面区域，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]²+[y]²≤1的平面区域不易理解．