Question

某种平面分形图如图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的周长为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：规律型

分析：此题注意首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系．再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系．

解答： 解：第一个三角形的周长=1+1+1=3，
观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的

1

3

，
第三个在第二个的基础上，多了其周长的

1

3

．
第二个周长：3×（1+

1

3

）=3×

4

3

=4，
第三个周长：3×（1+

1

3

）×

4

3

=3×

4

3

×

4

3

=3•（

4

3

）²
第四个周长：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

=3•（

4

3

）³，
…
故第n个图形的周长是第一个周长的•（

4

3

）^n-1倍，即周长是3•（

4

3

）^n-1．
故答案为：3•(

4

3

)n-1．

点评：本题考查归纳推理的应用，根据题意得出第一、第二、第三个图形的周长，找出规律是解答此题的关键．