Question

已知f（x）=-（x-1）²+m，g（x）=xe^x，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于f（x）_max≥g（x）_min，分别求出最值，即可得出结论．

解答： 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于f（x）_max≥g（x）_min，
∵g（x）=xe^x，
∴g′（x）=（1+x）e^x，
x＜-1时，g′（x）＜0，x＞-1时，g′（x）＞0，
∴x=-1时，g（x）_min=-

1

e

，
∵f（x）=-（x-1）²+m，
∴f（x）_max=m，
∴m≥-

1

e

，
∴实数m的取值范围是[-

1

e

，+∞）．
故答案为：[-

1

e

，+∞）．

点评：本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，：?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为f（x）_max≥g（x）_min，是关键．