Question

（文）已知函数f（x）的定义域为{1，2，3}，值域为集合{1，2，3，4}的非空真子集，设点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），且（

BA

+

BC

）•

AC

=0，则满足条件的函数f（x）有

 

个．

Answer 1

考点：分类加法计数原理,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据（

BA

+

BC

）•

AC

=0，可推出|

BC

|=|

BA

|，从而可得f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2），根据分类加法原理和分步乘法原理，可计算出f（1）=f（3）时有16种可能，f（1）+f（3）=2f（2）时有4种可能，相加即可．

解答： 解：∵

AC

=

BC

-

BA

，
∴（

BA

+

BC

）•

AC

=0可化为，

BC

2-

BA

2=0，
即|

BC

|=|

BA

|，
∴（f（2）-f（1））²=（f（2）-f（3））²，
即f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2）
∴根据题意可知，
满足条件的A、B、C三点的情况可分为两类：
①f（1）=f（3）时，f（1）=f（3）有4种选择，f（2）也有4种选择，
∴此类情况有4×4=16种；
②f（1）+f（3）=2f（2）时，即f（1），f（2），f（3）成等差数列时，
有如下情况，1、2、3；3、2、1；2、3、4；4、3、2，共4种，
∴满足条件的函数f（x）有16+4=20个
故答案为：20．

点评：本题考查向量的加减法运算和数量积运算，计数原理的等知识的综合应用，以及分情况讨论的数学思想，属于难题．