Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c在x=0处取得极大值1．求实数b，c的值和实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由于f′（x）=3x²-2ax+b，依题意知，f′（0）=b=0，f（0）=c=1，即可求得a，b，再由f′（x），得到函数f（x）在x=0处取得极大值的条件，从而可得答案．

解答：解：∵f（x）=x³-ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
又函数f（x）=x³-ax²+bx+c在x=0处取得极大值1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
当a＜0时，则当x∈(

2a

3

，0)，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=0处取得极小值，与题意不符；
当a=0时，函数无极值；
当a＞0时，则当x＜0时，f′（x）＞0，当x∈(0，

2a

3

)时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=0处取得极大值，符合题意
综上可知，a＞0满足题意．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x²-2ax+b，利用f′（0）=0，f（0）=1求得b，c是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．