Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于零．
其中正确的命题是________．

Answer 1

①③
分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．
解答：函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有 ，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正确；
所以f（x）在[-，]内递减，
且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（ ）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=-，则M+m=0，因此③正确．
故答案为：①③．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，应用导数求函数的极值点，最大值与最小值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．