Question

11．△ABC中，AB=3，BC=2，CA=$\sqrt{19}$，若点D满足$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，则△ABD的面积为（　　）

• A． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 由题意画出图形，由向量等式可得BD，在△ABC中，由余弦定理求得角B，则△ABD的面积可求．

解答 解：如图，∵BC=2，$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，∴BD=$\frac{3}{2}$，DC=$\frac{1}{2}$．
在△ABC中，由AB=3，BC=2，CA=$\sqrt{19}$，利用余弦定理得：
cosB=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-19}{2×2×3}=-\frac{1}{2}$，
∴∠B=120°，则sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．