Question

已知函数f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1(ω＞0，x∈R)，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）若g(x)=log

1

2

[f(x)]，求g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（ωx+

π

6

）-1，由周期求得ω=2，即可得到f（x）的解析式，由此求得函数f（x）的最小值．
（2）本题即求f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1≥0的减区间，令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，解之可得结果．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
由

2π

ω

=π，得ω=2，
所以，f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，所以，当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，
即当x=kπ-

π

3

时，f_min（x）=-3． （6分）
（2）∵y=log

1

2

x是减函数，因此命题转化为求f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1≥0的减区间，
故令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，解之得：

π

6

+kπ≤x＜

π

3

+kπ（k∈Z），
∴g（x）的单调增区间为[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ)（k∈Z）．    （12分）

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域以及单调性，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．