Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2，
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B-AP-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD， 因为AP=BP，所以PA⊥AB， 又AC=BC，所以CD⊥AB， 因为， 所以AB⊥平面PCD， 因为平面PCD， 所以PC⊥AB；  （Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2， 所以， 又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，所以， 因为， 所以∠CDP=90°， 由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P-AB-C的平面角， 所以平面PAB⊥平面ABC。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB， 过D作DE⊥PA于E，连结CE， 则CE⊥PA，所以∠DEC是二面角B-AP-C的平面角， 在Rt△CDE中，易求得， 因为， 所以， 所以， 即二面角B-AP-C的余弦值为。