Question

4．已知正数a，b满足a+b=1，则T=（a+$\frac{1}{b}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²的最小值是$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 展开运用基本不等式求解即可得出a²+b²+2（$\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$）$+\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$≥2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$（仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立）运用等号成立的条件即可得出答案．

解答 解：∵正数a，b满足a+b=1，
∴T=（a+$\frac{1}{b}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²=a²+b²+2（$\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$）$+\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{{b}^{2}}$≥2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$（仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立）
∵T=（a+$\frac{1}{b}$）²+（b+$\frac{1}{a}$）²，
∴a=b=$\frac{1}{2}$
∴2ab+4+2×$\frac{1}{ab}$=2×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+4+2×$\frac{1}{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{25}{2}$
故答案为：$\frac{25}{2}$

点评 本题考查了基本不等式的运用，注意条件成立，多次运用时，条件一样．