Question

（2006•重庆一模）已知f （x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）-f（x+2）f（x）-f（x）=1，f(1)=-

1

2

， f(2)=-

1

4

，则f （2006）=

4

．

Answer 1

分析：这种题一般来说都是周期函数，可以通过算出几组来找出规律．将f（1）代入题目中的式子，可以得到f（3）的值，依次算下去，得到的结果为：-

1

2

，-

1

4

，

1

3

，

3

5

，2，4，-3，-

5

3

，-

1

2

，-

1

4

．所以，这个函数是以8为周期的．再用2006除以8余6，因此，f（2006）=4．

解答：解：f （x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）-f（x+2）f（x）-f（x）=1，
f(1)=-

1

2

， f(2)=-

1

4

，将f（1），f（2）代入题目中的式子，
可以得f（3）=

1

3

，f（4）=

3

5

，…
依次算下去，得到的结果为：-

1

2

，-

1

4

，

1

3

，

3

5

，2，4，-3，-

5

3

，-

1

2

，-

1

4

．
所以，这个函数是以8为周期的．再用2006除以8余6，
因此，f（2006）=f（6）=4．
故答案为：4．

点评：本小题主要考查函数的值、函数的值的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．