Question

【题目】若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等比数列；

（1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为、、、，求的值；

（2）若（为常数），且数列是3级等比数列，求所有可能的值，并求取最小正值时数列的前项和；

（3）证明：正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列，也为3级等比数列；

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3）证明详见解析.

【解析】

（1）利用定义，求出、，即可求的值；

（2）根据 是3级等比数列，列出方程，即可求所有可能值的集合，从而求取最小正值时数列的前项和；

（3）根据数列为级等比数列的定义，分充分性与必要性进行证明即可．

（1）解：由题意，

，

，

，

.

（2）解：是3级等比数列，

，

，

，

整理为： ，

即 ，，

，

的最小正值是，

此时， ，

，， ，

，

，

，

……..

（3）必要性：若为等比数列，则，

对一切成立，显然对成立．

既为2级等比数列，也为3级等比数列．

充分性：若为2级等比数列，，则，均成等比数列，

设等比数列，的公比分别为，

为3级等比数列，，则 成等比数列，设公比为

既是中的项，也是中的项，

，既是中的项，也是中的项，

，

，

设，则

，

，，

又， ，

， ，，

， ，

综合得：,显然为等比数列．