Question

17．（1）设P是椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意一点，P是焦点．证明：以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相切；
（2）设P是双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上任意一点，F是焦点，请你类比（1），写出一个类似的结论，并证明．

Answer 1

分析 （1）画出图形，利用三角形的中位线与椭圆的定义，推出两个圆的圆心距与半径关系，证得结果；
（2）利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，利用两圆圆心距离和半径之间的关系判断两圆相内切、外切．

解答 （1）证明：如图，∵P是椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意一点，F为其右焦点，则以PF为直径的圆的半径是$\frac{1}{2}$|PF|，
以长轴为直径的圆的半径为a，设椭圆左焦点为F′，
OC∥PF′，OC=$\frac{1}{2}$PF′．圆心距|OC|=$\frac{1}{2}$PF′，
∵|OC|+$\frac{1}{2}$|PF|=a，∴两个圆相内切；
（2）结论：设P是双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上任意一点，F是焦点，
则以线段PF为直径的圆与以实轴为直径的圆相切．
证明：设以实轴|F₁F₂|为直径的圆的圆心为O₁，其半径r₁=a，
线段PF₂为直径的圆的圆心为O₂，其半径为r₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$，
当P在双曲线左支上时，|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵r₂-|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}-\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=a=r₁，
∴两圆内切；
当P在双曲线右支上时，
|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵|O₁O₂|-r₂=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}-\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|，
∴两圆外切．

点评 本题主要考查椭圆与双曲线的性质的应用以及两圆位置关系的判断，利用椭圆与双曲线的定义结合两圆位置关系的定义是解决本题的关键，是中档题．