Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E为BB₁中点，∠A₁DE=90°．
（I）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（II）求二面角C-A₁E-D的大小．

Answer 1

（I）证明：连接AE．在△ABC中，用勾股定理，求出AB=2
在△A₁B₁E中，用勾股定理，求出AE=3．
在△AA₁D中，有：A₁D²=AA₁²+AD²
在△BDE中，有：DE²=BE²+BD²
在△A₁DE中，有AE²=A₁D²+DE²=（AA₁²+AD²）+（BE²+BD²）
AB=AD+BD（与上式联立，解方程组）
可以求出：AD=BD=．即D点是AB的中点，CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线，
也就是斜边上的高（CD⊥AB）．
又在直三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA1⊥底面ABC，又CD∈面ABC，则AA₁⊥CD．
综合上述条件，CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA₁∩AB=A．，有CD⊥面A₁ABB₁
（II）过D作DH⊥A₁E于H，AC=BC=AA₁=2，A₁E=3，DE=，A₁D=，DH==
所以，二面角C-A₁E-D的正切值为：=1，二面角C-A₁E-D的大小为45°
分析：（I）证明：连接AE．求出AB=2 求出AE=3．求出：AD=BD=．即D点是AB的中点，CD是等腰RT△ABC的斜边AB上的中线，
证明CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA₁∩AB=A，即可得到CD⊥面A₁ABB．
（II）过D作DH⊥A₁E于H，求出A₁E=3，DE，A₁D，DH，即可求出二面角C-A₁E-D的正切值为：=1，二面角C-A₁E-D的大小为45°
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．