Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=m|x-1|（m∈R）．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数m的取值范围；
（2）若当x∈R时，关于x的不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[0，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer 1

解：：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=m|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-m）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且仅有一个等于1的解或无解，∴m＜0．
（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥m|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时m∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为m≤，令φ（x）==，
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此时m≤-2．
综合①②，得所求实数m的取值范围是（-∞，-2]．
（3）（Ⅲ）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+m|x-1|=，由此可得
当m≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤m＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当m＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．
分析：（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数m的取值范围；
（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数m的取值范围．
（3）去绝对值，分段求函数的最值．
点评：本题考查构成根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键，属于中档题．