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    一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是  


           ．                            

    [解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

    因

            

    ，

    故，从而．

    记此时小球与面的切点为，连接，则

    ．

    考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体

    的棱长为，过作于．

       因，有，故小三角形的边长．

    小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

    ．　　　　　　　　　

    又，，所以

    ．

    由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．


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    从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则

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    如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。

    （1）求证：OB⊥AC；

    （2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

     


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    数列为等差数列，为等比数列，，则         ．

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    已知函数，数列满足对于一切有，

    且．数列满足，

    设．

    （1）求证：数列为等比数列，并指出公比；

    （2）若，求数列的通项公式；

    （3）若（为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足．

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    如图,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

    （1）求证：直线AB1∥平面C1DB；

    （2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

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