Question

若向量

MA

，

MB

，

MC

的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，点O是空间中任一点，则下列选项中的关系肯定能使向量

MA

，

MB

，

MC

构成一个空间基底的是（　　）

• A、

  OM

  =

  OA

  +

  OB

  +

  OC

• B、

  MA

  =

  MB

  +

  MC

• C、

  OM

  =

  1

  3

  OA

  +

  1

  3

  OB

  +

  1

  3

  OC

• D、

  MA

  =2

  MB

  -

  MC

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：空间向量及应用

分析：A．由

OM

=

OA

+

OB

+

OC

，且向量

MA

，

MB

，

MC

的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则即可判断出；
B．由

MA

=

MB

+

MC

，利用平面向量基本定理可知：向量

MA

，

MB

，

MC

共面；
C．由

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，

1

3

+

1

3

+

1

3

=1，利用平面向量基本定理可知：点M在平面ABC内；
D．由

MA

=2

MB

-

MC

可知：向量

MA

，

MB

，

MC

共面．

解答： 解：A．由

OM

=

OA

+

OB

+

OC

，且向量

MA

，

MB

，

MC

的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则可知：OM是以点O为顶点的对角线，∴向量

MA

，

MB

，

MC

能构成一个空间基底；
B．∵

MA

=

MB

+

MC

，∴向量

MA

，

MB

，

MC

共面，不能构成一个空间基底；
C．∵

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，

1

3

+

1

3

+

1

3

=1，∴点M在平面ABC内，因此向量

MA

，

MB

，

MC

不能构成一个空间基底；
D．由

MA

=2

MB

-

MC

可知：向量

MA

，

MB

，

MC

共面，因此不能构成空间的一个基底．
综上可得：只有A正确．
故选：A．

点评：本题考查了平面向量基本定理、空间向量基本定理，考查了推理能力，属于难题．