Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：a_n=

b1

3+1

+

b2

3×2+1

+

b3

3×3+1

+…+

bn

3n+1

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令c_n=

anbn

4

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由题意已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），已知前n项和求通项；
（II）在（I）中求出数列a_n的通项，利用列项相消法求解即可．
（III）利用（I）（II）得出c_n=

a nb n

4

=

2n•2(3n+1)

4

=3n²+n，再利用正整数的平方和公式及等差数列的求和公式求解即得．

解答：解：（I）n≥2时，S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
两式相减得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），则（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+2（n-1），
∴a_n=a_n-1+2
∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n；
（II）∵a_n=

b 1

3+1

+

b 2

3×2+1

+

b 3

3×3+1

+…+

bn

3n+1

，
∴a_n-1=

b 1

3+1

+

b 2

3×2+1

+

b 3

3×3+1

+…+

b n-1

3(n-1)+1

，
∴当n≥2时，有a_n-a_n-1=

b n

3n+1

，
由（I）得a_n-a_n-1=2，
∴b_n=2（3n+1），
而当n=1时，也成立，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2（3n+1）（n∈N^*），
（III）c_n=

a nb n

4

=

2n•2(3n+1)

4

=3n²+n，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=3（1²+2²+3²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=3×

1

6

n（n+1）（2n+1）+

1

2

n（n+1）
=

1

6

n（n+1）（4n+5）．

点评：此题考查了数列递推式、等差数列、已知数列的前n项和求其通项，还考查了公式法求出数列的前n项的和．