Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间；
（Ⅱ）可以求出函数在闭区间x∈[1，3]上的最小值，这个最小值要大于1-4c²，解不等式可以得出实数c的取值范围．

解答： 解：f′（x）=3x²+6ax+3b，由该函数在x=2处有极值，
故f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0…①
又其图象在图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3
即2a+b+2=0…②
由①，②，解得a=-1，b=0------（4分）
∴f′（x）=x³-3x²+c
（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
由f′（x）=0
得x₁=0，x₂=2．
列表如下

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）单调递增区间是（0，2）-----（7分）
（Ⅱ）由（1）可知列表如下

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	-2+c	↘	-4+c	↗	c

∴f（x）在[1，3]的最小值是-4+c
∴c-4＞1-4c²
解得c＞1或c＜-

5

4

------（12分）

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于难题．