Question

3．已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$；
（3）当x∈[e，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，即可求a的值．
（2）构造函数，g（x）=g（x）=f（x）-（$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3{x}^{2}}{2}$+3x-lnx-$\frac{11}{6}$，根据导数和函数的最值的关系求出最小值即可证明．
（3）当x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，等价于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，求最值，即可求a的取值范围

解答 解：（1）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x}$，
由题意可得f′（1）=2-2a=0，解得a=1；
经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，
所以a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x²-x-lnx，x＞0，
令g（x）=f（x）-（$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3{x}^{2}}{2}$+3x-lnx-$\frac{11}{6}$，
则g′（x）=x²-3x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）^{3}}{x}$，
可知g（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
所以g（x）≥g（1）=0，
故：f（x）≥$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$；
（3）由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等价于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）时恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，x∈[e，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函数，
有h（x）≥h（e）=$\frac{{e}^{2}}{e+1}$，
所以a≤$\frac{{e}^{2}}{e+1}$

点评 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况．本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．