Question

1．等差数列{a_n}满足a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅=14，a₇=20，可得a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁，d，即可得出通项公式．
（II）b_n=2-2S_n，可得b₁=2-2b₁，解得b₁．n≥2时，b_n-1=2-2S_n-1，可得b_n-b_n-1=-2b_n，化为b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．利用等比数列的定义通项公式即可得出．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅=14，a₇=20，
∴a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）证明：∵b_n=2-2S_n，∴b₁=2-2b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
n≥2时，b_n-1=2-2S_n-1，∴b_n-b_n-1=-2b_n，化为b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．