Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（{n∈{N^*}}）$，则该数列的前2012项积a₁•a₂•…•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=1．

Answer 1

分析 a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（{n∈{N^*}}）$，可得a_n+4=a_n，即可得出．

解答 解：∵a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}（{n∈{N^*}}）$，∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，同理可得：a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2，…，
∴a_n+4=a_n，
则该数列的前2012项积a₁•a₂•…•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=$（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}）^{503}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．