Question

16．（1）已知$sinα+cosα=\frac{7}{13}$，α∈（0，π），求tanα的值；
（2）求$y=sin2x+2\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）+3$的最小值．

Answer 1

分析 把函数解析式的前两项利用诱导公式sin（$\frac{π}{2}$-α）=cosα，以及cos（$\frac{π}{2}$-α）=cosα及二倍角的余弦函数公式进行变形，然后利用完全平方公式化简，由正弦函数的值域即可得到函数的最小值．

解答 解：（1）∵已知$sinα+cosα=\frac{7}{13}$，α∈（0，π），sin²α+cos²α=1，sinα＞0，cosα＜0，
求得sinα=$\frac{12}{13}$，cosα=-$\frac{5}{13}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{12}{5}$．
（2）∵$y=sin2x+2\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）+3$=cos（2x-$\frac{π}{2}$）+2$\sqrt{2}$cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$-x）]+3
=1-2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+3=4-[2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+1]+1
=5-${[\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）+1]}^{2}$，
∵sin（$\frac{π}{4}$-x）∈[-1，1]，
∴函数的最小值为5-${（1+\sqrt{2}）}^{2}$=2-2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及完全平方公式的应用，其技巧性比较强，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．