Question

8．设函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+bx（a＞0），f'（1）=0$．
（1）用含a的式子表示b；
（2）令F（x）=$f（x）+\frac{1}{2}a{x^2}-bx+\frac{a}{x}（0＜x≤3）$，其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率$k≤\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=2，试求f（x）在区间$[c，c+\frac{1}{2}]（c＞0）$上的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求导，再代值计算即可得到b=a-1；
（2）根据导数的几何意义求出直线的斜率，再根据二次函数的性质求出a的范围；
（3）求导，分类讨论，根据导数和函数的最大值得关系即可求出．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b，
f′（1）=1-a+b=0，
∴b=a-1
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴k=F′（x）=$\frac{{x}_{0}-a}{{x}_{0}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，
∴a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，x₀∈（0，3]，
当x₀=1时，-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀的取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$
（3）当a=2时，f（x）=lnx-x²+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
当c+$\frac{1}{2}$≤1，即0＜c≤$\frac{1}{2}$时，f（x）区间$[c，c+\frac{1}{2}]（c＞0）$上单调递增，
∴f（x）_max=f（c+$\frac{1}{2}$）=ln（c+$\frac{1}{2}$）-（c+$\frac{1}{2}$）²+c+$\frac{1}{2}$=ln（c+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$-c²，
当$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c+\frac{1}{2}＞1}\end{array}\right.$．即$\frac{1}{2}$＜c＜1时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+$\frac{1}{2}$]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=0，
当c≥1时，f（x）在[c，c+$\frac{1}{2}$]上单调递减，
∴f（x）_max=f（c）=lnc-c²+c，
综上所述，当0＜c≤$\frac{1}{2}$时，f（x）_max=ln（c+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$-c²，
当$\frac{1}{2}$＜c＜1时，f（x）_max=0，
当c≥1时，f（x）_max=lnc-c²+c．

点评 本题考查了导数的几何意义以及参数的取值范围和导数在函数的最值的应用，关键是分类讨论，属于中档题．