Question

16．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克）．重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量，
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，设ξ为重量超过505克的产品数量，求P（ξ=2）及ξ的数学期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出重量超过505克的产品频率，由此能求出重量超过505克的产品数量．
（2）由题意Y的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和EY．
（3）利用样本估计总体，该流水线产品重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B（5，0.3），由此能求出P（ξ=2）及ξ的数学期望和方差．

解答 解：（1）由频率分布直方图得重量超过505克的产品频率为：
（0.05+0.01）×5=0.3，
∴重量超过505克的产品数量为：0.3×40=12．
（2）由题意Y的可能取值为0，1，2，
P（Y=0）=$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，
P（Y=1）=$\frac{{C}_{28}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{56}{130}$，
P（Y=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{11}{130}$，
∴Y的分布列为：

Y	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{56}{130}$	$\frac{11}{130}$

EY=$0×\frac{63}{130}$+$1×\frac{56}{130}$+2×$\frac{11}{130}$=$\frac{39}{65}$．
（3）利用样本估计总体，该流水线产品重量超过505克的概率为0.3，
令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B（5，0.3），
∴P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}0．{3}^{2}•0．{7}^{3}$=0.3087，
Eξ=5×0.3=1.5，
Dξ=5×0.3×0.7=1.05．

点评 本题考查频数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．