Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（Ⅰ） 求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ） 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ） 在PA上是否存在一点E，使得二面角E-BC-A的大小为45°．若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又∵PC∩CD=C，PC、CD⊆平面PBC，
∴AB⊥平面PCB．
（Ⅱ）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．
则∠PAF（或其补角）为异面直线PA与BC所成的角．
∵AB⊥平面PCB，BC⊆平面PCB，
∴AB⊥BC，得CF⊥AF．
∵△ACF中，AC=2，AF=CF，∴AF=CF=，
由三垂线定理，得PF⊥AF，可得PF=，
在Rt△PFA中，tan∠PAF==，得∠PAF=．
∴异面直线PA与BC所成的角为．
（Ⅲ）假设点E存在，过E作EF⊥CA于E，过F作FO⊥BC于O．
∵PC⊥平面ABC，PC⊆平面PCA，∴平面PCA⊥平面ABC，
∵平面PCA∩平面ABC=AC，EF⊥AC，∴EF⊥平面ABC．
由三垂线定理，得EO⊥BC．所以∠EOF为二面角E-BC-A的平面角．
设EF=a，则OF=AF=a，．
由△COF∽△CBA，得，
即解之得，即．
∴在PA上存在一点E，当时，二面角E-BC-A的大小为45°．
分析：（I）根据线面垂直的性质，得PC⊥AB且CD⊥AB，结合PC、CD是平面PBC内的相交直线，得AB⊥平面PCB；
（II）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF，则∠PAF（或其补角）为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PFA中，算出
tan∠PAF=，从而得到异面直线PA与BC所成的角为．
（III）假设点E存在，过E作EF⊥CA于E，过F作FO⊥BC于O．由面面垂直的性质结合三垂线定理，可得∠EOF为二面角E-BC-A的平面角．利用等腰直角三角形的性质和相似三角形，可得当∠EOF=45°时，AE=2，由此可得在PA上存在点E，使二面角E-BC-A的大小为45°．
点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面垂直并探索二面角的大小，着重考查了空间垂直位置关系的证明、异面直线所成角的求法和二面角的平面角求法等知识，属于中档题．