Question

13．已知椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），短轴端点到其右焦点F（2，0）的距离为$\sqrt{5}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆W的方程；
（2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆W的方程．
（2）设直线AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中点M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），直线代入抛物线方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出四边形OABC可以为矩形．

解答 解：（1）∵椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），短轴端点到其右焦点F（2，0）的距离为$\sqrt{5}$，
∴由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）设直线AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中点M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），
直线代入抛物线方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
∴△=（10km）²-4（1+5k²）（5m²-5）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{10km}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．①由条件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
将（1）式代入得6m²=5k²+5，②
又x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5km}{1+5{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$，
且M同时也是OB的中点，∴x₃=2x₀，y₃=2y₀，
∵B在椭圆上，∴${{x}_{3}}^{2}+5{{y}_{3}}^{2}$=5，
即$4{{x}_{0}}^{2}+20{{y}_{0}}^{2}=5$，代入整理可得4m²=5k²+1，③
由②③解得m²=2，k²=$\frac{7}{5}$，
验证知△=120＞0，
∴四边形OABC可以为矩形．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形能否为矩形的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．