Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）比较

1

1+an

与

n

1+n

-

n2

(n+1)2

(an-

1

n

)的大小（n∈N^*）；
（3）证明：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+1-an

(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 a1=

1

2

．a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）令x=

1

n

，构造函数f(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(an-x)(x＞0)，求导可知f（x）的最大值是f(an)=

1

1+an

，从而可以比较大小；
（3）由条件可知

1

1+ai

＞

1

1+x

-

1

(1+x)2

(ai-x)(x＞0，i=1，2，n)且“=”成立的条件是x=a_i，从而可证．

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得 a1=

1

2

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即

an

an-1

=

1

2

∴数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

（2）令x=

1

n

，构造函数f(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(an-x)(x＞0)，则f/(x)=

2(an-x)

(1+x)3

，所以f（x）的最大值是f(an)=

1

1+an

，∴f(

1

n

)＜

1

1+an

，∴

1

1+an

＞

n

1+n

-

n2

(n+1)2

(an-

1

n

)
（3）由（2）可知

1

1+ai

＞

1

1+x

-

1

(1+x)2

(ai-x)(x＞0，i=1，2，n)且“=”成立的条件是x=a_i，
所以：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n

1+x

-

1

(1+x)2

(a1+a2+an-nx)，
令x=

a1+a2+an

n

，则

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n

1+ a1+a2+an n

，
所以：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+ 1 2 + 1 22 + 1 2n

∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+1-an

(n∈N*，n≥2)

点评：本题考查等比数列的通项公式的求法和不等式的证明，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，属于难题