Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a为实数），函数y=g（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数y=g（x）的单调区间；
（2）当函数y=g（x）最小值为4时，求函数y=f（x）解析式．

Answer 1

分析：（1）先对函数y=g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知可得g（x）的最小值，从而列出方程即得：∴a=2，故f（x）=x²+2lnx．

解答：解：∵f′(x)=2x+

a

x

，∴g(x)=2x+

a

x

（1）∵g′(x)=2-

a

x2

①当a＜0时，g'（x）＞0恒成立，∴函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，有下表

x	（0， 2a 2 ）	2a 2	（ 2a 2 ，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	减	极小值	增

∴函数g（x）的单调递增区间为(

2a

2

，+∞)；
函数g（x）的单调递减区间为（0，

2a

2

）
（2）由（1）知g(x)min=g(

2a

2

)=

2a

+

2a

=4
∴a=2，故f（x）=x²+2lnx

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．