Question

5．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]且函数g（x）=2[f（x）]²-f（x）-m．
（1）当m=0时，求函数y=g（x）的零点；
（2）当m∈[-$\frac{1}{8}$，3]，讨论函数y=g（x）的零点个数及相应零点的和．

Answer 1

分析 （1）由m=0和条件化简方程g（x）=0，求出f（x），由x的范围求出2x+$\frac{π}{3}$的范围，由正弦函数值求出函数y=g（x）的零点；
（2）设t=f（x），由（1）和正弦函数的图象与性质求出t的范围，代入原函数化简后化为一元二次函数，由二次函数的图象与性质求出函数的值域，结合m的范围对m分类讨论，由函数零点与函数图象的关系分别判断出函数g（x）的零点个数及相应零点的和．

解答 解：（1）由m=0得，g（x）=2[f（x）]²-f（x），
由g（x）=2[f（x）]²-f（x）=0得，f（x）=0或f（x）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0或sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，2π]，
则2x+$\frac{π}{3}$=0或2x+$\frac{π}{3}$=2π或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
解得x=$-\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$或$-\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$，
∴函数y=g（x）的零点是$-\frac{π}{6}$、$\frac{5π}{6}$、$-\frac{π}{12}$、$\frac{π}{4}$；
（2）设t=f（x），由（1）知，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，2π]，
则f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域是[-1，1]，即t∈[-1，1]，
代入g（x）可得，y=2t²-t-m，设y=2t²-t=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∵t∈[-1，1]，
∴y=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$∈[-$\frac{1}{8}$，3]，且当t=1时y=1，
又m∈[-$\frac{1}{8}$，3]，分两种情况，
当m=-$\frac{1}{8}$或1＜m≤3时，函数y=g（x）的零点个数是1，
当-$\frac{1}{8}$＜m≤1时，函数y=g（x）的零点个数是2，且两个零点之和是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数、一元二次函数的图象与性质的应用，以及函数零点的问题，考查换元法、分类讨论思想，转化思想，化简、变形能力．