Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n=4a_n+1（n∈N⁺），b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 S_n=4a_n+1（n∈N⁺），利用a₁=S₁=4a₁+1，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=$\frac{4}{3}$a_n-1，利用等比数列的通项公式可得a_n，代入b_n=a_n+1-2a_n，证明$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=常数（非0）即可．

解答 证明：∵S_n=4a_n+1（n∈N⁺），∴a₁=S₁=4a₁+1，解得a₁=$-\frac{1}{3}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n+1-（4a_n-1+1），化为a_n=$\frac{4}{3}$a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为$-\frac{1}{3}$，公比为$\frac{4}{3}$的等比数列．
∴a_n=$-\frac{1}{3}$$•（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
b_n=a_n+1-2a_n=$-\frac{1}{3}$$•（\frac{4}{3}）^{n-1}$•$（\frac{4}{3}-2）$=$\frac{2}{9}$$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{4}{3}$．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为$\frac{2}{9}$，公比为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．