Question

20．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和$\sqrt{2}$a，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是75°或165°．

Answer 1

分析 二面角α-l-β中，PA⊥α，PB⊥β，PO⊥l，PA=a，PB=$\sqrt{2}a$，PO=2a，连结AO、BO，则∠AOB是二面角的平面角，由此能求出结果．

解答 解：如图，二面角α-l-β中，PA⊥α，PB⊥β，PO⊥l，
PA=a，PB=$\sqrt{2}a$，PO=2a
连结AO、BO，则∠AOB是二面角的平面角，
∵AO⊥l，BO⊥l，PO⊥l，∴AOBP是平面图形，
∴∠POA=30°，∠POB=45°，
如图一，∠AOB=∠POA+∠POB=30°+45°
=75°．
如图二，∠AOB=180°-（∠POB-∠POA）
=180°-（45°-30°）=165°．
故答案为：75°或165°．

点评 本题主要考查了二面角的平面角及求法，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．