Question

4．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到如图2所示的几何体D-ABC
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：AC=BC=2$\sqrt{2}$，又AB²=AC²+BC²，可得AC⊥CB，由面面垂直的性质定理可得：BC⊥平面ADC，可得BC⊥AD．又AD⊥DC，即可证明结论．
（II）由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．可得CH⊥平面ABD．利用CH=$\frac{BC•CD}{BD}$即可得出．

解答 （I）证明：由题意可得：AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥CB，
又平面ADC⊥平面ABC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD．
又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
（II）解：由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．则CH⊥平面ABD．CH为点C到平面ABD的距离．
∵BC⊥平面ADC，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BC=2$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴CH=$\frac{BC•CD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}×2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴点C到平面ABD的距离是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、勾股定理与逆定理的应用、“等体积法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．