Question

12．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜2；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，求解即可．
（2）求出m+n=2，利用1的代换，结合基本不等式求$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}$的最小值．

解答 解：（1）由f（x）＜2知|2x-1|＜2，
于是-2＜2x-1＜2，
解得$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
故不等式f（x）＜2的解集为$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）由条件得g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
当且仅当$x∈[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$时，其最小值a=2，
即m+n=2．
又$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（m+n）（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）=\frac{1}{2}（3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}）≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
所以$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}=m+n+\frac{2}{m}+\frac{1}{n}≥2+\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）=\frac{{7+2\sqrt{2}}}{2}$，
故$\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}$的最小值为$\frac{{7+2\sqrt{2}}}{2}$，
此时$m=4-2\sqrt{2}$，$n=2\sqrt{2}-2$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．