Question

8．如图，四边形 A BCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=$\sqrt{2}$，平面 ASD⊥平面SDC．
（1）求证：SD⊥AC；
（2）求点D到面SBC的距离．

Answer 1

分析 （1）由SD=2，$SC=DC={A}S={A}D=\sqrt{2}$，可得△DCS和△ADS都是以SD为斜边的等腰直角三角形．利用等腰三角形的性质可得：A O⊥SD，C O⊥SD．可得SD⊥平面 即可证明结论．
（2）如图将四棱锥S-A BCD补成三棱柱 ADS-B TC，设C T的中点 O₁，连接S O₁和 B O₁，可得$∠S{{O}_1}{B}=\frac{π}{2}$．由已知可得△S BC为等边三角形，又${V_{{B}-SCD}}={V_{{A}-SCD}}=\frac{1}{3}{S_{△SCD}}•{A}{O}=\frac{1}{3}$，设点D到面S BC的距离为h，V _B-SCD=V_D-SBC，即可得出．

解答 （1）证明：∵SD=2，$SC=DC={A}S={A}D=\sqrt{2}$，
∴△DCS和△ADS都是以SD为斜边的等腰直角三角形．
取SD的中点 O，连接 A O，C O，则 A O⊥SD，C O⊥SD．
∴SD⊥平面 A OC，又 AC?平面 A OC，∴SD⊥AC．
（2）解：如图将四棱锥S-A BCD补成三棱柱 ADS-B TC，
设C T的中点 O₁，连接S O₁和 B O₁，则$∠S{{O}_1}{B}=\frac{π}{2}$．
∵B O₁=A O=1，S O₁=C O=1，∴$S{B}=\sqrt{2}$，
即△S BC为等边三角形，∴${S_{△S{B}C}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又${V_{{B}-SCD}}={V_{{A}-SCD}}=\frac{1}{3}{S_{△SCD}}•{A}{O}=\frac{1}{3}$，
设点D到面S BC的距离为h，
∵V _B-SCD=V_D-SBC，∴$\frac{1}{3}{S_{△S{B}C}}h=\frac{1}{3}$，即$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、等腰与等边三角形的性质、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．