Question

11．若函数f（x）的反函数记为f^-1（x），已知函数f（x）=e^x．
（Ⅰ）设函数F（x）=f^-1（x）-f（x），试判断函数F（x）的极值点个数；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）•sinx≥kx，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，确定导数为0 的方程的根的个数即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数F（x）=f^-1（x）-f（x）=lnx-e^x，∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x，
令g（x）=1-xe^x，则g′（x）=-（1+x）e^x，
∴函数在（0，+∞）上单调递减，
∵x=0时，g（0）=1＞0，x=1时，g（1）=1-e＜0，
∴在（0，1）上存在唯一x₀，使得g（x₀）=0，∴F′（x₀）=0，
F（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，+∞）上递减，
∴函数F（x）的极值点个数为1个；（4分）
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，h′（x）≥0⇒h（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，（6分）
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当k≥${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）≤0⇒g（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；     （8分）
当1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1-k＜0，g′（ $\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0，
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x₀）上单调递减，
从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（-∞，1]（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．