Question

6．（实验班题）已知函数f（x）=2cosxsin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期；
（2）若2f（x）-m+1=0在[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]有实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，由此求出y=f（x）的最小正周期；
（2）把2f（x）-m+1=0化为f（x）=$\frac{m-1}{2}$，根据函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]上的最值列出不等式，即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$；…（4分）
所以f（x）的最小正周期为π；        …（6分）
（2）由2f（x）-m+1=0可得：$f（x）=\frac{m-1}{2}$，
∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[0，\frac{5}{6}π]$；…（8分）
当$2x-\frac{π}{3}=0$时，即$x=\frac{π}{6}$，f（x）的最小值为0，
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{5π}{12}$，f（x）的最大值为2，
故f（x）∈[0，2]；…（10分）
当$0≤\frac{m-1}{2}＜2$时，原方程有实根，故1≤m≤5．…（12分）

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性问题．