Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右顶点是A、上顶点是B．
（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；
（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求以AB为直径的圆E的标准方程；
（2）直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用向量知识及韦达定理，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）依题意点A（2，0）、B（0，1）（1分）
故线段AB的中点E（1，$\frac{1}{2}$），（2分）
所求圆E的半径r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，（3分）
故圆E的标准方程为（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$    （4分）
（2）依题意，直线l：y=kx+2         （5分）
联立C整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，（6分）
此时△=16（4k²-3）＞0，又k＞0，故k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．       （7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$（9分）
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=2k（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+4=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
由k＞0得k=2               （11分）
故所求直线l的方程是y=2x+2．（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，属于中档题．