Question

6．已知f（x）=ax-lnx．
（1）讨论f（x）单调性；
（2）当a＞0时，已知f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，求证：x₁+x₂＞$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，根据导函数的正负判断原函数的单调性；
（2）构造函数$h（x）=f（x）-f（\frac{2}{a}-x）\;\;\;0＜x≤\frac{1}{a}$，利用导函数判断h（x）的单调性，得出h（x）≥0，进而得出f（x）≥f（$\frac{2}{a}$-x），利用单调性得出结论．

解答 解：（1）f'（x）=a-$\frac{1}{x}$，函数的定义域为（0，+∞）
当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．
当a＞0时，令f'（x）=0，即a-$\frac{1}{x}$=0，x=$\frac{1}{a}$
∴（0，$\frac{1}{a}$）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上递减，
在（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增．
证明：（2）不妨设x₂＞x₁＞0，则由①可知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}，\;\;{x_2}＞\frac{1}{a}$
设$h（x）=f（x）-f（\frac{2}{a}-x）\;\;\;0＜x≤\frac{1}{a}$=$2ax-lnx+ln（\frac{2}{a}-x）-2$
$\begin{array}{l}∴h'（x）=-\frac{{{{（ax-1）}^2}}}{x（2-ax）}≤0\\∴h（x）在（0，\frac{1}{a}）内递减\\∴h（x）≥h（\frac{1}{a}）=0\\∴f（x）≥f（\frac{2}{a}-x），\;\;x∈（0，\;\;\frac{1}{a}]\end{array}$
$\begin{array}{l}又∵{x_1}∈（0，\frac{1}{a}）\\∴f（{x_1}）＞f（\frac{2}{a}-{x_1}）\\∵f（{x_1}）=f（{x_2}）\\∴f（{x_2}）＞f（\frac{2}{a}-{x_1}）\end{array}$
又$\frac{2}{a}-{x_1}＞\frac{1}{a}，\;\;{x_2}＞\frac{1}{a}$
且由（1）可知f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）内单调递增
$\begin{array}{l}∴{x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}\\∴{x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}\end{array}$
∴原不等式成立

点评 考查了导函数的应用，难点是函数的构造，难度较大．