Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a=2

5

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的三角公式将已知三角函数等式的右边展开，再利用同角三角函数基本关系式即可得右边恒等于

3

4

，进而由三角形内角的范围求得A
（2）先利用余弦定理得b、c间的等式，再利用均值定理求得bc的最大值，最后由三角形面积公式求面积的最大值即可

解答：解：（1）sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B
=（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB）+sin²B
=

3

4

cos²B-

1

4

sin²B+sin²B=

3

4

∴sinA=±

3

2

∴A=

π

3

或

2π

3

（2）∵△ABC为锐角三角形，∴A=

π

3

∴cosA=

b2+a2-c2

2bc

=

1

2

，a=2

5

∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
即bc≤20 （当且仅当b=c时取等号）
∴三角形的面积S=

1

2

bcsinA≤5

3

故三角形面积的最大值为5

3

点评：本题考查了三角变换公式的应用，三角求值，余弦定理的应用，三角形面积公式，均值定理求最值