Question

4．已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可．

解答 解：若不等式（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况：
①当a²-4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解得x≥$\frac{1}{4}$，故舍去，
若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，符合题意；
②当a²-4≠0时，即a≠±2，
∵（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集是空集，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＜0}\\{△=（a+2）^{2}-4{（a}^{2}-4）×（-1）＜0}\end{array}\right.$，解得$-2＜a＜\frac{6}{5}$，
综上得，实数a的取值范围是$[-2，\frac{6}{5}）$．
则当-1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，
反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C．

点评 本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．