Question

已知定义在R上函数f（x）=

x+b

x2+ax+1

为奇函数．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数是奇函数，建立方程关系即可求a+b的值；
（Ⅱ）利用判别式法，将函数转化为一元二次方程，可求函数f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，知f（0）=0，f（-1）=-f（1），
即f（0）=b=0，

-1

1-a+1

=-

1

1+a+1

，
由此解得a=0，b=0，故a+b=0．
（Ⅱ）f（x）=

x

x2+1

，设y=

x

x2+1

，则等价为方程yx²-x+y=0有根，
当y=0时，根为x=0符合；
当y≠0时，则△=1-4y²≥0，
于是-

1

2

≤y≤

1

2

且y≠0；
综上-

1

2

≤y≤

1

2

，
综上，值域为[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数值域的求解，利用判别式法是解决本题的关键和技巧．