Question

已知方程x²＋y²－2(t＋3)x＋2(1－4t²)y＋16t⁴＋9＝0．

(1)t为何值时，方程表示圆？

(2)t为何值时，方程表示的圆半径最大？请求出半径最大时圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)方程表示圆的条件是[－2(t＋3)]²＋[2(1－4t²)]²－4(16t⁴＋9)＞0，即7t²－6t－1＜0．解得＜t＜1．∴当＜t＜1时，方程表示圆．

　　(2)当＜t＜1时，方程表示圆，其半径为

　　

　　

　　当t＝时，半径有最大值，r_max＝，此时圆心坐标为(t＋3，4t²－1)，即()．故半径最大时，圆方程为(x－)²＋(y＋)²＝．

提示：

　　(1)方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D²＋E²－4F＞0．由此得t的范围．

　　(2)利用了二次函数在定义域上求最值得解．