Question

设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，|

AB

|=3，|

AC

|=2，∠ABC=60°，则

AD

•

BC

=（　　）

• A、-

  8

  5

• B、

  9

  5

• C、-

  9

  5

• D、

  8

  5

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：△ABC中，作DG‖AB，DH‖AC，则由题意可得四边形AHDG为菱形，由三角形内角平分线的性质可得

BD

BC

=

3

5

．△ABC中，由余弦定理可得BC=

7

，由△BDH∽△BCA，求得 DH=

6

5

=AH．由余弦定理求得AD的值，再由 

AD

•

BC

=

AD

•（

AC

-

AB

）计算求得结果．

解答： 解：△ABC中，作DG‖AB，DH‖AC，则四边形AHDG为平行四边形．
∵AD为内角A的平分线，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，
由三角形内角平分线的性质可得

BD

DC

=

AB

AC

=

3

2

，∴

BD

BC

=

3

5

．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=9+4-2×3×2×

1

2

=7，
再根据∠BHD=∠BAD+∠ADH，∴∠ADH=30°，
∴AH=HD，∴AHDG为菱形．
由△BDH∽△BCA，

DH

AC

=

BD

BC

，可得

DH

2

=

3

5

，∴DH=

6

5

=AH．
再根据∠AHD=120°，△ABD中，由余弦定理可得AD²=AH²+HD²-2AH•HD•cos∠AHD
=(

6

5

)2+(

6

5

)2-2×

6

5

×

6

5

×（-

1

2

）=3×(

6

5

)2，
∴AD=

6

5

3

．
∴

AD

•

BC

=

AD

•（

AC

-

AB

）=

AD

•

AC

-

AD

•

AB

=

6

5

3

×2×cos∠BAD-

6

5

3

×3×cos∠CAD
=

12

5

3

×

3

2

-

18 3

5

×

3

2

=-

9

5

，
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．