Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．
（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a²+b²＜c²；
（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析：（I）∠C为钝角时?cosC＜0，然后根据余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，即可证明结论．
（II）先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，从而得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，利用余弦定理求出cosC，再由正弦定理求出外接圆半径．

解答：解：（Ⅰ）当∠C为钝角时，cosC＜0，（2分）
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，（5分）
即：a²+b²＜c²．（6分）
（Ⅱ）设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，
由（Ⅰ）得（n-1）²+n²＜（n+1）²?n²-4n＜0?0＜n＜4，（9分）
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，（11分）
cosC=

22+32-42

2×2×3

=-

1

4

?sinC=

15

4

，（13分）
△ABC外接圆的半径R=

c

2sinC

=

4

2× 15 4

=

8 15

15

．（14分）

点评：本题考查了正弦定理和余弦定理，对于外接圆半径利用正弦定理得到即可，属于中档题．