如图所示.n台机器人M1.M2.--.Mn位于一条直线上.检测台M在线段M1 Mn上.n台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测.送检程序设定:当Mi把零件送达M处时.Mi+1即刻自动出发送检已知Mi的送检速度为V, 且记.n台机器人送检时间总和为f(x). 的表达式,(2)当n=3时.求x的值使得f(x)取得最小值,取得最小值时.x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，n台机器人M1，M2，……，Mn位于一条直线上，检测台M在线段M1 Mn上，n台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序设定：当Mi把零件送达M处时，Mi+1即刻自动出发送检（i=1,2,……,n-1）已知Mi的送检速度为V(V>0), 且记，n台机器人送检时间总和为f(x).

(1)求f(x)的表达式；

(2)当n=3时，求x的值使得f(x)取得最小值；

(3)求f(x)取得最小值时，x的取值范围．

（1）f(x)= ；（2）x=1；（3）n为偶数时x∈[,]；n为奇数时．

【解析】

试题分析：（1）先求出n台机器人送检的路程总和，再除以送检速度v即为n台机器人送检时间总和f(x)；而且，则，从而可得f(x)的表达式；（2）当n=3时，f(x)是一个含有绝对值符号的函数，只须采用零点分段讨论法，去掉绝对值符号，转化为一个分段函数，结合函数图就可求得使f(x)取得最小值对应的x的值；（3）由(1)知f(x)是一个含有多个绝对值符号的函数,再由(2)的经验,须去掉绝对值符号,所以我们只须设i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ),就可去掉所有的绝对值符号,从而转化为一个一次函数,其单调性由x系数的正负来确定，讨论x系数的正负，并结合n的奇偶性就可求出f(x)取得最小值时，x的取值范围．

试题解析：（1）以M1为坐标原点，M1，M2 ，Mn所在直线为x轴建立数轴，则Mi的坐标为i-1，M的坐标为x．

f(x)= 3分

（2）n=3时,V f(x)=

f(x)在x=1处取得最小值

（3）当i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)时，

=x+(x-1)+ +(x-i)-(x-(i+1))- -(x-(n-1))

=[( i+1)x-(1+2+ + i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+ +(n-1) ]

=-[n-2 (i+1) ]·x-

当0≤i<时，f(x)单调递减：当时，f(x)单调递增

当, f(x)为常函数，又f(x)图象是一条连续不断的图象，所以

①n为偶数时，f(x)在（0，）内单调递减，在()为常函数，在（，n-1）单调递增，所以当x∈[,]时f(x)取得最小值．

②n为奇数时，在内单调递减，（表示的整数部分），在内单调递增，所以当时取得最小值（13分）

考点：1．函数的应用；２．分类讨论．

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