Question

已知sin（π-α）=

4

5

，α∈(0，

π

2

)．
（1）求sin2α的值；
（2）求函数f（x）=

5

3

cosαsin2x-cos2x的单调增区间．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（2）将cosα的值代入f（x），再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间．

解答： 解（1）∵sin（π-α）=sinα=

4

5

，且α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
则sin2α=2sinαcosα=

24

25

；
（2）f（x）=

5

3

×

3

5

sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．