Question

求最小的正整数m，n（n≥2），使得n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1，2，…，n的正方形．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：依题意n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1，2，…，n的正方形等价于1²+2²+…+n²=nm²，即6m²=（n+1）（2n+1），则（n+1）（2n+1）=2n²+3n+1≡0（mod6），由n²≡0，1，3，4（mod6）知n≡±1（mod6），再分类讨论，即可求出最小的正整数m，n．

解答： 解：依题意n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1，2，…，n的正方形等价于1²+2²+…+n²=nm²，
即6m²=（n+1）（2n+1），
则（n+1）（2n+1）=2n²+3n+1≡0（mod6），
由n²≡0，1，3，4（mod6）知n≡±1（mod6）．
若6|n+1，设n=6k-1（k∈N），得m²=k（12k-1），
因为（k，12k-1）=1，
所以k与12k-1都是完全平方数，但12k-1≡3 （mod4）矛盾!
若6|n-1，设n=6k+1（k∈N），得m²=（3k+1）（4k+1），因（3k+1，4k+1）=1，所以，
3k+1=v²，4k+1=u²，消去k得4v²-3u²=1，v=u=1时，k=0，n=1，但n≥2，故u＞1，v＞1．
由4v²-3u²≡1（mod8）知u，v为奇数，
直接计算得u_min=15，v_min=13，k=56，所以，
m_最小=15×13=195，n_最小=337．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1，2，…，n的正方形等价于1²+2²+…+n²=nm²，是解题的关键．