Question

已知函数f(x)=cosx(

3

cosx-sinx)-

3

2

．求：
（Ⅰ）函数y=f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）函数y=f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换，可求得f（x）=-sin（2x-

π

3

），利用正弦函数的对称性可求得函数y=f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

⇒2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]⇒-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，从而可求函数y=f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值．

解答： （Ⅰ）f（x）=

3

cos²x-sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

-

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x
=-sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），
解得x=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z），
故y=f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

5π

12

（k∈Z）．
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

⇒2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴-1≤-sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
∴y_min=-1，y_max=

3

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的对称性与单调性，考查运算求解能力，属于中档题．