Question

19．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值．
（2）若$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义得PF₁+PF₂=10，利用基本不等式求解PF₁•PF₂的最大值为25； 
（2）设PF₁=m，PF₂=n（m＞0，n＞0），利用椭圆的定义得m+n=10；以及余弦定理得PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂•cos∠F₁PF₂=F₁F₂²，求出mn=$\frac{64}{3}$；然后求出三角形的面积．

解答 解：（1）在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$中，a=5，
根据椭圆的定义得PF₁+PF₂=10，
∵PF₁+PF₂≥2$\sqrt{{PF}_{1}•{PF}_{2}}$，
∴PF₁•PF₂≤（$\frac{{PF}_{1}+{PF}_{2}}{2}$）²=25，
当且仅当PF₁=PF₂=5时，等号成立；
∴PF₁•PF₂的最大值为25； …（4分）
（2）设PF₁=m，PF₂=n（m＞0，n＞0），
根据椭圆的定义得m+n=10；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂•cos∠F₁PF₂=F₁F₂²，
即m²+n²-2mn•cos$\frac{π}{3}$=6²；
∴m²+n²-mn=36，即（m+n）²-3mn=36；
∴100²-3mn=36，即mn=$\frac{64}{3}$；
又∵${S}_{{△F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$mn•sin$\frac{π}{3}$，
∴${S}_{{△F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{64}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．